حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 + 3 y + 3 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 + 3 y + 3 y^{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + 3 y + 3 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 (2 y)$

خطوة 1.4.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 6 y$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 + 6 y$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 3$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $6 y + 3$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 y + 1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y + 3 = 2 y + 1$

خطوة 3.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$6 y + 3 = 2 y + 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $6 y + 3$ .

$\frac{6 y + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2 y + 1$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{N}$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x + 2 x y$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

خطوة 4.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 y + 3 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1}{x + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.4

اطرح $2 y$ من $6 y$ .

$\frac{4 y + 3 - 1}{x + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.5

اطرح $1$ من $3$ .

$\frac{4 y + 2}{x + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.6

أخرِج العامل $2$ من $4 y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4 y$ .

$\frac{2 (2 y) + 2}{x + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.6.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (2 y) + 2 (1)}{x + 2 x y}$

خطوة 4.3.2.6.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x + 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x^{1} + 2 x y}$

خطوة 4.3.3.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + 2 x y}$

خطوة 4.3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + x (2 y)}$

خطوة 4.3.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (2 y)$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (1 + 2 y)}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $2 y + 1$ و $1 + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

خطوة 4.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{x}$

خطوة 4.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 5

احسِب قيمة تكامل $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 5.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 5.3

بسّط.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

خطوة 5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

خطوة 5.4.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

خطوة 5.4.3

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

خطوة 6

اضرب كلا طرفي $(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$ في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3 + 3 y + 3 y^{2}$ في $x^{2}$ .

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) x^{2} d x + (x + 2 x y) d y = 0$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

خطوة 6.3

اضرب $x + 2 x y$ في $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) x^{2} d y = 0$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x \cdot x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.5

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1} x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1 + 2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.5.2

أضف $1$ و $2$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

خطوة 6.6

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

انقُل $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x) y) d y = 0$

خطوة 6.6.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) y) d y = 0$

خطوة 6.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2 + 1} y) d y = 0$

خطوة 6.6.3

أضف $2$ و $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{3} y) d y = 0$

خطوة 7

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{3} y d y$

خطوة 8

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{3} y$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{3} y d y$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

خطوة 8.3

بما أن $2 x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2 x^{3}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

خطوة 8.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 8.5

بسّط.

$f (x, y) = x^{3} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

خطوة 8.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

خطوة 8.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

خطوة 8.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = x^{3} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

خطوة 8.6.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + C$

خطوة 9

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

خطوة 10

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 11

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 11.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{3} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 11.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 11.3.3

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 11.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x^{3} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 11.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 11.4.3

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 11.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 11.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اطرح $3 x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y$

خطوة 12.1.2

اطرح $3 x^{2} y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 12.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.3.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $3 y x^{2}$ و $- 3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 12.1.3.2

اطرح $3 x^{2} y$ من $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 12.1.3.3

أضف $3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 12.1.3.4

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $3 y^{2} x^{2}$ و $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 12.1.3.5

اطرح $3 x^{2} y^{2}$ من $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

خطوة 12.1.3.6

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

خطوة 13

أوجِد المشتق العكسي لـ $3 x^{2}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

خطوة 13.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

خطوة 13.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

خطوة 13.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

خطوة 13.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

خطوة 13.5.2.3

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

خطوة 14

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + x^{3} + C$