حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

خطوة 1

افترض أن $V = \frac{y}{t}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{t}$ .

$y = V t$

خطوة 3

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V t$ بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d t}$ التي تساوي $t \frac{d V}{d t} + V$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

خطوة 5

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d t}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

خطوة 5.1.1.1.2

اطرح $V$ من $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

خطوة 5.1.1.2

اقسِم كل حد في $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ على $t$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ على $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

خطوة 5.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

خطوة 5.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d t}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

خطوة 5.1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

خطوة 5.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

خطوة 5.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 V + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 V$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

خطوة 5.1.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

خطوة 5.1.2.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- V) + 2 (1)$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

خطوة 5.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{- V + 1}$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

خطوة 5.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $- V + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أخرِج العامل $- V + 1$ من $2 (- V + 1)$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

خطوة 5.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

خطوة 5.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

خطوة 5.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

خطوة 5.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

لنفترض أن $u = - V + 1$ . إذن $d u = - d V$ ، لذا $- d u = d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

افترض أن $u = - V + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 5.2.2.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

خطوة 5.2.2.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

خطوة 5.2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

خطوة 5.2.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

خطوة 5.2.2.5

بسّط.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

خطوة 5.2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- V + 1$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

خطوة 5.2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

خطوة 5.2.3.2

تكامل $\frac{1}{t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| t |)$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

خطوة 5.2.3.3

بسّط.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

خطوة 5.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

بسّط $- 2 \ln (| t |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

خطوة 5.3.2.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| t |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

خطوة 5.3.3

أضف $\ln (t^{2})$ إلى كلا المتعادلين.

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

خطوة 5.3.4

اقسِم كل حد في $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اقسِم كل حد في $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

خطوة 5.3.4.2.2

اقسِم $\ln (| - V + 1 |)$ على $1$ .

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

خطوة 5.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

خطوة 5.3.4.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot C$ بالصيغة $- C$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

خطوة 5.3.4.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

خطوة 5.3.4.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (t^{2})$ بالصيغة $- \ln (t^{2})$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

خطوة 5.3.5

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

خطوة 5.3.6

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

خطوة 5.3.7

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| - V + 1 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

خطوة 5.3.8

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

خطوة 5.3.9

أعِد كتابة $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

خطوة 5.3.10

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ .

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

خطوة 5.3.10.2

اقسِم كل حد في $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ على $t^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.2.1

اقسِم كل حد في $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ على $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

خطوة 5.3.10.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

خطوة 5.3.10.2.2.1.2

اقسِم $| - V + 1 |$ على $1$ .

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

خطوة 5.3.10.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

خطوة 5.3.10.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

خطوة 5.3.10.5

اقسِم كل حد في $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.5.1

اقسِم كل حد في $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.10.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.10.5.2.2

اقسِم $V$ على $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.10.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.10.5.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.10.5.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ بالصيغة $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.10.5.3.1.3

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

خطوة 5.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

خطوة 5.4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

خطوة 6

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{t}$ .

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كلا الطرفين في $t$ .

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط $(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{t^{2}}$ و $C$ .

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

خطوة 7.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

خطوة 7.2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{C}{t^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

خطوة 7.2.2.1.3.2

أخرِج العامل $t$ من $t^{2}$ .

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

خطوة 7.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

خطوة 7.2.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

خطوة 7.2.2.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.4.1

اضرب $t$ في $1$ .

$y = \frac{- C}{t} + t$

خطوة 7.2.2.1.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{C}{t} + t$

خطوة 7.2.2.1.4.3

أعِد ترتيب $- \frac{C}{t}$ و $t$ .

$y = t - \frac{C}{t}$