حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب $1$ في $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

خطوة 3.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

خطوة 3.4

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $0$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$0 = 2$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $0$ .

$\frac{2 + 0}{M}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

$\frac{2 + 0}{1}$

خطوة 5.3.2

اقسِم $2 + 0$ على $1$ .

$2 + 0$

خطوة 5.3.3

عوّض بقيمة $M$ التي تساوي $1$ .

$2$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int 2 d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة الثابت.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

خطوة 6.2

بسّط.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $d x + (y + 2 x) d y = 0$ في عامل التكامل $e^{2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $1$ في $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

خطوة 7.2

اضرب $y + 2 x$ في $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = e^{2 y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 y} x + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $e^{2 y} x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.3.7

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 12.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اطرح $2 x e^{2 y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

خطوة 13.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.2.1

اطرح $2 x e^{2 y}$ من $2 x e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

خطوة 13.1.2.2

أضف $y e^{2 y}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $y e^{2 y}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

خطوة 14.3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{2 y}$ .

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

خطوة 14.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 y}$ .

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

خطوة 14.4.2

اجمع $y$ و $\frac{e^{2 y}}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

خطوة 14.5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

خطوة 14.6

احذِف الأقواس.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

خطوة 14.7

لنفترض أن $u = 2 y$ . إذن $d u = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.1

افترض أن $u = 2 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.1.1

أوجِد مشتقة $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

خطوة 14.7.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 14.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 14.7.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 14.7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 14.8

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 14.9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

خطوة 14.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.10.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

خطوة 14.10.2

اضرب $2$ في $2$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

خطوة 14.11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

خطوة 14.12

أعِد كتابة $\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

خطوة 14.13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

خطوة 16

بسّط $f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

خطوة 16.1.2

اجمع $\frac{y}{2}$ و $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

خطوة 16.1.3

اجمع $e^{2 y}$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

خطوة 16.2

اطرح $\frac{e^{2 y}}{4}$ من $e^{2 y} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

أعِد ترتيب $e^{2 y}$ و $x$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

خطوة 16.2.2

لكتابة $x e^{2 y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

خطوة 16.2.3

اجمع $x e^{2 y}$ و $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

خطوة 16.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

خطوة 16.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

خطوة 16.3.2

أخرِج العامل $e^{2 y}$ من $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.2.1

أخرِج العامل $e^{2 y}$ من $4 x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

خطوة 16.3.2.2

أخرِج العامل $e^{2 y}$ من $- e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

خطوة 16.3.2.3

أخرِج العامل $e^{2 y}$ من $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

خطوة 16.4

لكتابة $\frac{y e^{2 y}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

خطوة 16.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

اضرب $\frac{y e^{2 y}}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

خطوة 16.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

خطوة 16.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

خطوة 16.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.7.1

أخرِج العامل $e^{2 y}$ من $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.7.1.1

أخرِج العامل $e^{2 y}$ من $y e^{2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

خطوة 16.7.1.2

أخرِج العامل $e^{2 y}$ من $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

خطوة 16.7.2

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$