حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $e^{x} (y - 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

خطوة 3.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y - 1$ من $(e^{x} + 4) (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $y - 1$ من $e^{x} (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.5.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

خطوة 3.5.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ و $e^{x}$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

خطوة 3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

خطوة 4.2.2

لنفترض أن $u_{1} = y - 1$ . إذن $d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

افترض أن $u_{1} = y - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

خطوة 4.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 4.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

خطوة 4.2.2.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.2.2.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

خطوة 4.2.3

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

خطوة 4.2.4

بسّط.

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

خطوة 4.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y - 1$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = e^{x} + 4$ . إذن $d u_{2} = e^{x} d x$ ، لذا $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = e^{x} + 4$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 4.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x} + 0$

خطوة 4.3.2.1.4.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$e^{x}$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.4

بسّط.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{x} + 4$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y - 1 |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y - 1 |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

خطوة 5.2.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ .

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

خطوة 5.3

وسّع $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ بالصيغة $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

خطوة 5.3.2

وسّع $\ln ({(y - 1)}^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

خطوة 5.4

المعادلة الموسّعة هي $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

خطوة 5.5

اطرح $\ln (| e^{x} + 4 |)$ من كلا المتعادلين.

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ على $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

خطوة 5.6.2.1.2

اقسِم $\ln (y - 1)$ على $1$ .

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

خطوة 5.7

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

خطوة 5.8

أعِد كتابة $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

خطوة 5.9

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

خطوة 5.9.2

بسّط $e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

خطوة 5.9.2.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

خطوة 5.9.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

خطوة 5.9.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

خطوة 5.9.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.3.2.1

قسّم الكسر $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ إلى كسرين.

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

خطوة 5.9.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

خطوة 6

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

خطوة 6.3

أعِد كتابة $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ بالصيغة $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ .

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

خطوة 6.4

أعِد ترتيب $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ و $e^{C}$ .

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$