حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d r}{d t} = \frac{2 t + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $t$ من $2 t + t r^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $t$ من $2 t$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $t$ من $t r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t (r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $t$ من $t \cdot 2 + t (r^{2})$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

خطوة 1.1.4

اضرب $t$ في $2 + r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $r$ من $4 r + r t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $r$ من $4 r$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r t^{2}}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $r$ من $r t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r (t^{2})}$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $r$ من $r \cdot 4 + r (t^{2})$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot (4 + t^{2})}$

خطوة 1.2.4

اضرب $r$ في $4 + t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

خطوة 1.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r}$

خطوة 1.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{r}{2 + r^{2}}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} (\frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{t}{4 + t^{2}}$ في $\frac{2 + r^{2}}{r}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{(4 + t^{2}) r}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $r$ من $(4 + t^{2}) r$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

خطوة 1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{4 + t^{2}}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2 + r^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $2 + r^{2}$ من $t (2 + r^{2})$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

خطوة 1.5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

خطوة 1.5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{r}{2 + r^{2}} d r = \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{r}{2 + r^{2}} d r = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 2 + r^{2}$ . إذن $d u_{1} = 2 r d r$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = r d r$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 2 + r^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [2 + r^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + r^{2}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 2.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 r$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $0$ و $2 r$ .

$2 r$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

خطوة 2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

خطوة 2.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

خطوة 2.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

خطوة 2.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 + r^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u_{2} = 4 + t^{2}$ . إذن $d u_{2} = 2 t d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u_{2} = 4 + t^{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $4 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [4 + t^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 t$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $0$ و $2 t$ .

$2 t$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 2 + r^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 4 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C)$

خطوة 3.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 3.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

خطوة 3.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

خطوة 3.2.2.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2$

خطوة 3.2.2.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + 2 C$

خطوة 3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 2 + r^{2} |) - \ln (| 4 + t^{2} |) = 2 C$

خطوة 3.4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$

خطوة 3.5

لإيجاد قيمة $r$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |})} = e^{2 C}$

خطوة 3.6

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}$

خطوة 3.7

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$

خطوة 3.7.2

اضرب كلا الطرفين في $| 4 + t^{2} |$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

خطوة 3.7.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| 4 + t^{2} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

خطوة 3.7.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 2 + r^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

خطوة 3.7.4

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 C} | 4 + t^{2} |$ .

$| 2 + r^{2} | = | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

خطوة 3.7.4.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$2 + r^{2} = \pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

خطوة 3.7.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $\pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$ .

$2 + r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

خطوة 3.7.4.4

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2$

خطوة 3.7.4.5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$r = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط ثابت التكامل.

$r = \pm \sqrt{\pm C | 4 + t^{2} | - 2}$

خطوة 4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$r = \pm \sqrt{C | 4 + t^{2} | - 2}$