حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

خطوة 1

اطرح $d x$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} y^{2} d y = - d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

خطوة 3.4

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $- 1$ .

$3 y^{2} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

خطوة 3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 3 y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ بالصيغة $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2.3.2.3

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 4.3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

خطوة 4.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$y^{3} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

خطوة 4.3.4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أعِد كتابة $- (- x^{- 1} + C_{2})$ بالصيغة $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$y^{3} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

خطوة 4.3.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

خطوة 4.3.4.2.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{x} + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$

خطوة 5.2

بسّط $\sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{K x}{x}}$

خطوة 5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$

خطوة 5.2.3

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$

خطوة 5.2.4

اضرب $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 5.2.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 5.2.5.2

ارفع $\sqrt[3]{x}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

خطوة 5.2.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

خطوة 5.2.5.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

خطوة 5.2.5.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 5.2.5.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 5.2.5.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 5.2.5.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 5.2.5.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

خطوة 5.2.5.5.5

بسّط.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

خطوة 5.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

خطوة 5.2.7

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$

خطوة 5.2.8

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (1 + K x)}}{x}$