حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y - x \frac{d y}{d x} = 4 x^{3}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- x \frac{d y}{d x} + y = 4 x^{3}$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $- x \frac{d y}{d x} + y = 4 x^{3}$ على $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} + \frac{y}{- x} = \frac{4 x^{3}}{- x}$

خطوة 1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{4 x^{3}}{- x}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{4 x^{3}}{- x}$

خطوة 1.4.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{4 x^{3}}{- x}$

خطوة 1.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{x (4 x^{2})}{- x}$

خطوة 1.5.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{4 x^{2}}{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 1 \cdot (4 x^{2})$

خطوة 1.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 4 \cdot x^{2}$

خطوة 1.7

أخرِج العامل $y$ من $\frac{y}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{- x} = - 4 \cdot x^{2}$

خطوة 1.8

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{1}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{- x} y = - 4 \cdot x^{2}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{1}{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{1}{- x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{1}{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$e^{\int \frac{- 1 (- 1)}{- x} d x}$

خطوة 2.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 1}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1 (- 1)}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.2.4

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.2.5

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $\frac{y}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.2.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.2.5.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.2.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.2.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 4 \cdot x^{2})$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 4 \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 3.4

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 4}{x} x^{2}$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 4}{x} (x \cdot x)$

خطوة 3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 4}{x} (x \cdot x)$

خطوة 3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 4 x$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - 4 x$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - 4 x d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x} y = \int - 4 x d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{x} y = - 4 \int x d x$

خطوة 7.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 7.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد كتابة $- 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $- 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 7.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{- 4}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C$

خطوة 7.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

خطوة 7.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x} y = \frac{- 2}{1} x^{2} + C$

خطوة 7.3.2.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\frac{1}{x} y = - 2 x^{2} + C$

خطوة 8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{y}{x} = - 2 x^{2} + C$

خطوة 8.2

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- 2 x^{2} + C) x$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (- 2 x^{2} + C) x$

خطوة 8.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (- 2 x^{2} + C) x$

خطوة 8.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

بسّط $(- 2 x^{2} + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - 2 x^{2} x + C x$

خطوة 8.3.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$y = - 2 (x \cdot x^{2}) + C x$

خطوة 8.3.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = - 2 (x^{1} x^{2}) + C x$

خطوة 8.3.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = - 2 x^{1 + 2} + C x$

خطوة 8.3.2.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$y = - 2 x^{3} + C x$