حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 8 \sin (2 x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 8 \sin (2 x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 8 \sin (2 x) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 8 \sin (2 x) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 8 \int \sin (2 x) d x$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.3.2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = 8 \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.3

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 8 \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $8$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{2} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.5.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$y + C_{1} = 4 \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = 4 (- \cos (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بسّط.

$y + C_{1} = 4 (- \cos (u)) + C_{2}$

خطوة 2.3.7.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \cos (u) + C_{2}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$y + C_{1} = - 4 \cos (2 x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - 4 \cos (2 x) + K$