حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 10$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = 5 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{3}{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 5 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $5 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ بالصيغة $5 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 5 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اضرب $5$ في $4$ .

$y + C_{1} = 20 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $1$ عن $x$ وبـ $10$ عن $y$ في $y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$ .

$10 = 20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 10$ .

$20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 10$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$20 \cdot 1 + K = 10$

خطوة 4.2.2

اضرب $20$ في $1$ .

$20 + K = 10$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $20$ من كلا المتعادلين.

$K = 10 - 20$

خطوة 4.3.2

اطرح $20$ من $10$ .

$K = - 10$

خطوة 5

عوّض بـ $- 10$ عن $K$ في $y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 10$ .

$y = 20 x^{\frac{1}{4}} - 10$