حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 - x) d y - (y d) x = 0$

خطوة 1

أضف $y d x$ إلى كلا المتعادلين.

$(1 - x) d y = y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $1 - x$ من $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

خطوة 3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

خطوة 3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 4.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لنفترض أن $u = 1 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

افترض أن $u = 1 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 4.3.1.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 4.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 4.3.2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4.3.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

خطوة 4.3.5

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 4.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 - x |) = C$

خطوة 5.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| y (1 - x) |) = C$

خطوة 5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

خطوة 5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $y$ في $1$ .

$\ln (| y + y (- x) |) = C$

خطوة 5.5.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\ln (| y - y x |) = C$

خطوة 5.6

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y - y x |)} = e^{C}$

خطوة 5.7

أعِد كتابة $\ln (| y - y x |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - y x |$

خطوة 5.8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y - y x | = e^{C}$ .

$| y - y x | = e^{C}$

خطوة 5.8.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y - y x = \pm e^{C}$

خطوة 5.8.3

أخرِج العامل $y$ من $y - y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C}$

خطوة 5.8.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C}$

خطوة 5.8.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C}$

خطوة 5.8.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C}$

خطوة 5.8.5

اقسِم كل حد في $y (1 - x) = \pm e^{C}$ على $1 - x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.5.1

اقسِم كل حد في $y (1 - x) = \pm e^{C}$ على $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

خطوة 5.8.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

خطوة 5.8.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{C}{1 - x}$