حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y = 5 e^{x}$

خطوة 1

تحقق مما إذا كان المتعادل الأيسر هو نتيجة مشتق الحد $(x - 3) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 3$ و $g (x) = y$ .

$(x - 3) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$(x - 3) y' + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

خطوة 1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x - 3) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x - 3) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 1.5

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x - 3) y' + y (1 + 0)$

خطوة 1.6

أضف $1$ و $0$ .

$(x - 3) y' + y \cdot 1$

خطوة 1.7

عوّض بقيمة $y'$ التي تساوي $\frac{d y}{d x}$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

خطوة 1.8

أعِد ترتيب $y$ و $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

خطوة 1.9

اضرب $y$ في $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y$

خطوة 2

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [(x - 3) y] = 5 e^{x}$

خطوة 3

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 3) y] d x = \int 5 e^{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$(x - 3) y = \int 5 e^{x} d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$(x - 3) y = 5 \int e^{x} d x$

خطوة 5.2

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$(x - 3) y = 5 (e^{x} + C)$

خطوة 5.3

بسّط.

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ على $x - 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ على $x - 3$ .

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{5 e^{x} + C}{x - 3}$