حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ , $v (π) = - 3$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.2

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

خطوة 2.3.5

بما أن مشتق $\tan (t)$ هو $\sec^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (t)$ هو $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بسّط.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

اجمع $16$ و $\frac{1}{2}$ .

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

خطوة 2.3.6.2.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $π$ عن $t$ وبـ $- 3$ عن $v$ في $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ .

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ .

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط $8 π^{2} - \tan (π) + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن المماس سالب في الربع الثاني.

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

خطوة 4.2.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

خطوة 4.2.1.1.3

اضرب $- - 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

خطوة 4.2.1.1.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

خطوة 4.2.1.2

أضف $8 π^{2}$ و $0$ .

$8 π^{2} + K = - 3$

خطوة 4.3

اطرح $8 π^{2}$ من كلا المتعادلين.

$K = - 3 - 8 π^{2}$

خطوة 5

عوّض بـ $- 3 - 8 π^{2}$ عن $K$ في $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $- 3 - 8 π^{2}$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$