حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(y^{2} + 1) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

خطوة 1

اطرح $(y^{2} + 1) d x$ من كلا المتعادلين.

$(x^{2} + 1) d y = - (y^{2} + 1) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y^{2} + 1$ من $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 4.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 4.3.3

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

خطوة 4.3.4

بسّط.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

خطوة 5.2

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ على $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.3.2.2

اقسِم $\arctan (x)$ على $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \arctan (y)$ بالصيغة $- \arctan (y)$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.3.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

خطوة 5.3.3.1.4

اقسِم $K$ على $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

خطوة 5.4

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

خطوة 5.5

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ .

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

خطوة 5.6

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (y)$ من داخل المماس.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

خطوة 5.7

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

خطوة 5.8

اقسِم كل حد في $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اقسِم كل حد في $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ على $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.8.2.2

اقسِم $\arctan (y)$ على $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.8.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \arctan (x)$ بالصيغة $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.8.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

خطوة 5.8.3.1.4

اقسِم $K$ على $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

خطوة 5.9

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

خطوة 5.10

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

خطوة 5.11

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $\arctan (y)$ من داخل المماس.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

خطوة 5.12

اطرح $K$ من كلا المتعادلين.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

خطوة 5.13

اقسِم كل حد في $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.13.1

اقسِم كل حد في $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ على $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.13.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.13.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.13.2.2

اقسِم $\arctan (y)$ على $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.13.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.13.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.13.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.13.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \arctan (x)$ بالصيغة $- \arctan (x)$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

خطوة 5.13.3.1.3

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

خطوة 5.13.3.1.4

اقسِم $K$ على $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

خطوة 5.14

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$