حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x + 3 y) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.3

بما أن $6 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

خطوة 1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x + 3 y)]$

خطوة 2.2

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $y (2 x + 3 y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.7

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

خطوة 2.8.2

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 y$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 y$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 y = 2 y$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x + 3 y) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وسّع $y (2 x + 3 y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \int y (2 x) + y (3 y) d y$

خطوة 5.1.2

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = \int y \cdot 2 x + y (3 y) d y$

خطوة 5.1.3

أعِد ترتيب $y$ و $2$ .

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y (3 y) d y$

خطوة 5.1.4

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y \cdot 3 y d y$

خطوة 5.1.5

أعِد ترتيب $y$ و $3$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y \cdot y d y$

خطوة 5.1.6

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y) d y$

خطوة 5.1.7

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) d y$

خطوة 5.1.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{1 + 1} d y$

خطوة 5.1.9

أضف $1$ و $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{2} d y$

خطوة 5.1.10

أعِد ترتيب $2 y x$ و $3 y^{2}$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 y x d y$

خطوة 5.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y x d y$

خطوة 5.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y x d y$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y x d y$

خطوة 5.5

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2 x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x \int y d y$

خطوة 5.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

خطوة 5.7

بسّط.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = 1 y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.8.3

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$f (x, y) = y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.8.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} + x \frac{2}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.8.5

اجمع $x$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{x \cdot 2}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.8.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 \cdot x}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.8.7

اضرب $2$ في $x$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.8.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

خطوة 5.8.8.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3} + x y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} + x y^{2} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.2.2

بما أن $y^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.3.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$0 + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أضف $0$ و $y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $y^{2}$ من $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $6 x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $6 x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

خطوة 10.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$g (x) = 6 \int x d x$

خطوة 10.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 10.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

خطوة 10.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

خطوة 10.5.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + 3 x^{2} + C$