حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 1}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} y$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 1} y)$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $\frac{x}{x + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم $x$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 2.3.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 2.3.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

خطوة 2.3.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

خطوة 2.3.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

خطوة 2.3.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 2.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.5.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| y |) + \ln (| x + 1 |) = x + C$

خطوة 3.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x + 1 |) = x + C$

خطوة 3.3

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\ln (| y (x + 1) |) = x + C$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| y x + y \cdot 1 |) = x + C$

خطوة 3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$\ln (| y x + y |) = x + C$

خطوة 3.6

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y x + y |)} = e^{x + C}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $\ln (| y x + y |) = x + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y x + y |$

خطوة 3.8

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y x + y | = e^{x + C}$ .

$| y x + y | = e^{x + C}$

خطوة 3.8.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm e^{x + C}$

خطوة 3.8.3

أخرِج العامل $y$ من $y x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

خطوة 3.8.3.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

خطوة 3.8.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{x + C}$

خطوة 3.8.3.4

أخرِج العامل $y$ من $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{x + C}$

خطوة 3.8.4

اقسِم كل حد في $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ على $x + 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

اقسِم كل حد في $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ على $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

خطوة 3.8.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

خطوة 3.8.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{x + C}$ بالصيغة $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x} e^{C}}{x + 1}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x}}{x + 1}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \frac{C e^{x}}{x + 1}$