حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x y^{2}}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد ترتيب $x$ و $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y^{2} x}$

خطوة 1.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sqrt{x})$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y \sqrt{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sqrt{x}))$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sqrt{x})$

خطوة 1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = \sqrt{x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sqrt{x} d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$| y | = e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$ بالصيغة $e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$