حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $y + 2$ .

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.2.4

بسّط.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $2$ عن $y$ في $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{2}$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

خطوة 4.3.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

خطوة 4.3.1.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

خطوة 4.3.1.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- 1 + K = 2 + 4$

خطوة 4.3.1.2

أضف $2$ و $4$ .

$- 1 + K = 6$

خطوة 4.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 6 + 1$

خطوة 4.4.2

أضف $6$ و $1$ .

$K = 7$

خطوة 5

عوّض بـ $7$ عن $K$ في $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $7$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$