حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d z}{d t} = 8 t e^{z}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{e^{z}}$ .

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{1}{e^{z}} (8 t e^{z})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = 8 \frac{1}{e^{z}} (t e^{z})$

خطوة 1.2.2

اجمع $8$ و $\frac{1}{e^{z}}$ .

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{8}{e^{z}} (t e^{z})$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{z}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $e^{z}$ من $t e^{z}$ .

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{8}{e^{z}} (e^{z} t)$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = \frac{8}{e^{z}} (e^{z} t)$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{e^{z}} \frac{d z}{d t} = 8 t$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{e^{z}} d z = 8 t d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{e^{z}} d z = \int 8 t d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اعكِس علامة أُس $e^{z}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int 1 {(e^{z})}^{- 1} d z = \int 8 t d t$

خطوة 2.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{z})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{z \cdot - 1} d z = \int 8 t d t$

خطوة 2.2.1.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $z$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot z} d z = \int 8 t d t$

خطوة 2.2.1.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 z$ بالصيغة $- z$ .

$\int 1 e^{- z} d z = \int 8 t d t$

خطوة 2.2.1.2.2

اضرب $e^{- z}$ في $1$ .

$\int e^{- z} d z = \int 8 t d t$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = - z$ . إذن $d u = - d z$ ، لذا $- d u = d z$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = - z$ . أوجِد $\frac{d u}{d z}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $- z$ .

$\frac{d}{d z} [- z]$

خطوة 2.2.2.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $- z$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{d}{d z} [z]$

خطوة 2.2.2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 2.2.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int 8 t d t$

خطوة 2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int e^{u} d u = \int 8 t d t$

خطوة 2.2.4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 8 t d t$

خطوة 2.2.5

بسّط.

$- e^{u} + C_{1} = \int 8 t d t$

خطوة 2.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- z$ .

$- e^{- z} + C_{1} = \int 8 t d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$- e^{- z} + C_{1} = 8 \int t d t$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- e^{- z} + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ بالصيغة $8 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ .

$- e^{- z} + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اجمع $8$ و $\frac{1}{2}$ .

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- e^{- z} + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$- e^{- z} + C_{1} = 4 t^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- e^{- z} = 4 t^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $- e^{- z} = 4 t^{2} + K$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $- e^{- z} = 4 t^{2} + K$ على $- 1$ .

$\frac{- e^{- z}}{- 1} = \frac{4 t^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{e^{- z}}{1} = \frac{4 t^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.2.2

اقسِم $e^{- z}$ على $1$ .

$e^{- z} = \frac{4 t^{2}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{4 t^{2}}{- 1}$ .

$e^{- z} = - 1 \cdot (4 t^{2}) + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (4 t^{2})$ بالصيغة $- (4 t^{2})$ .

$e^{- z} = - (4 t^{2}) + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e^{- z} = - 4 t^{2} + \frac{K}{- 1}$

خطوة 3.1.3.1.4

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- z} = - 4 t^{2} - 1 \cdot K$

خطوة 3.1.3.1.5

أعِد كتابة $- 1 \cdot K$ بالصيغة $- K$ .

$e^{- z} = - 4 t^{2} - K$

خطوة 3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- z}) = \ln (- 4 t^{2} - K)$

خطوة 3.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $\ln (e^{- z})$ بنقل $- z$ خارج اللوغاريتم.

$- z \ln (e) = \ln (- 4 t^{2} - K)$

خطوة 3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- z \cdot 1 = \ln (- 4 t^{2} - K)$

خطوة 3.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- z = \ln (- 4 t^{2} - K)$

خطوة 3.4

اقسِم كل حد في $- z = \ln (- 4 t^{2} - K)$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اقسِم كل حد في $- z = \ln (- 4 t^{2} - K)$ على $- 1$ .

$\frac{- z}{- 1} = \frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{z}{1} = \frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2

اقسِم $z$ على $1$ .

$z = \frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (- 4 t^{2} - K)}{- 1}$ .

$z = - 1 \cdot \ln (- 4 t^{2} - K)$

خطوة 3.4.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (- 4 t^{2} - K)$ بالصيغة $- \ln (- 4 t^{2} - K)$ .

$z = - \ln (- 4 t^{2} - K)$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$z = - \ln (- 4 t^{2} + K)$