حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x d y + (3 x - 2 y) d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 3 x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 2 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 2.2.2

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

خطوة 2.4

اطرح $2$ من $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $- 2$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $1$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = 1$

خطوة 4.2

بما أن الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، إذن المعادلة لا تمثل متطابقة.

$- 2 = 1$ لا تمثل متطابقة.

خطوة 5

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $\frac{\partial M}{\partial y}$ التي تساوي $- 2$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمة $\frac{\partial N}{\partial x}$ التي تساوي $1$ .

$\frac{- 2 - 1}{N}$

خطوة 5.3

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عوّض بقيمة $N$ التي تساوي $x$ .

$\frac{- 2 - 1}{x}$

خطوة 5.3.2

اطرح $1$ من $- 2$ .

$\frac{- 3}{x}$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{x}$

خطوة 5.4

أوجِد عامل التكامل لـ $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

خطوة 6

احسِب قيمة تكامل $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

خطوة 6.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

خطوة 6.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 6.4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 6.5

بسّط.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

بسّط $- 3 \ln (| x |)$ بنقل $- 3$ داخل اللوغاريتم.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

خطوة 6.6.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

خطوة 6.6.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

خطوة 7

اضرب كلا طرفي $(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$ في عامل التكامل $\frac{1}{x^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $3 x - 2 y$ في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(3 x - 2 y) \frac{1}{x^{3}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.2

اضرب $3 x - 2 y$ في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x d y = 0$

خطوة 7.3

اضرب $x$ في $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

خطوة 7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

خطوة 7.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

خطوة 7.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

خطوة 8

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{2}} d y$

خطوة 9

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = \frac{1}{x^{2}}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} y + C$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{x^{2}}$ و $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + C$

خطوة 10

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$

خطوة 11

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}} + g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{y}{x^{2}} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{y}{x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2}}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.5.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.3.9

اطرح $4$ من $1$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$y \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.5.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.5.2.3

اجمع $y$ و $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.5.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$- \frac{2 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 12.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

خطوة 13

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

اطرح $\frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} - \frac{3 x - 2 y}{x^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x - 2 y)}{x^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x) - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.3.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x + 2 y}{x^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 2 y - 3 x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.4.1

أضف $- 2 y$ و $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x + 0}{x^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.4.2

أضف $- 3 x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x}{x^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.5.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.5.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x^{3}} = 0$

خطوة 13.1.1.5.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.5.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.5.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3}{x^{2}} = 0$

خطوة 13.1.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3}{x^{2}} = 0$

خطوة 13.1.2

أضف $\frac{3}{x^{2}}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

خطوة 14

أوجِد المشتق العكسي لـ $\frac{3}{x^{2}}$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

خطوة 14.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$g (x) = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 14.4

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$g (x) = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 14.5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 14.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$g (x) = 3 \int x^{- 2} d x$

خطوة 14.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$g (x) = 3 (- x^{- 1} + C)$

خطوة 14.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.1

أعِد كتابة $3 (- x^{- 1} + C)$ بالصيغة $3 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$g (x) = 3 (- \frac{1}{x}) + C$

خطوة 14.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.2.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$g (x) = - 3 \frac{1}{x} + C$

خطوة 14.7.2.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = \frac{- 3}{x} + C$

خطوة 14.7.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$g (x) = - \frac{3}{x} + C$

خطوة 15

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} - \frac{3}{x} + C$