حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 x y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x y - x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 x = 2 x$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $M (x, y) = 2 x y - x$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

خطوة 5.2

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 y$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

خطوة 5.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 5.6

بسّط.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 5.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 5.7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 5.7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 5.7.3

اضرب $y$ في $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

خطوة 5.7.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.7.5

لكتابة $y x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.7.6

اجمع $y x^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.7.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.7.8

انقُل $2$ إلى يسار $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.7.9

احذِف الأقواس.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

خطوة 5.8

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (y)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y x^{2} - x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3.3

بما أن $2 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3.5

بما أن $- x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3.6

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3.7

أضف $2 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3.8

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3.9

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.3.10.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (y)$ هو $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d y}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} + x^{2} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $y^{2}$ و $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $y^{2}$ لإيجاد $g (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

خطوة 10.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (y)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12

بسّط $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.4

لكتابة $y x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.5

اجمع $y x^{2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.7.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.7.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.7.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.7.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.7.2

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

خطوة 12.1.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

خطوة 12.2

لكتابة $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

خطوة 12.3

لكتابة $\frac{y^{3}}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 12.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اضرب $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 12.4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

خطوة 12.4.3

اضرب $\frac{y^{3}}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

خطوة 12.4.4

اضرب $3$ في $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

خطوة 12.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

خطوة 12.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

خطوة 12.6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

خطوة 12.6.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

خطوة 12.6.4

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

خطوة 12.6.5

طبّق خاصية التوزيع.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

خطوة 12.6.6

اضرب $3$ في $2$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

خطوة 12.6.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

خطوة 12.6.8

انقُل $2$ إلى يسار $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$