حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$ , $y (- 1) = 8$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \cot (x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \cot (x) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \cot (x) d x$

خطوة 2.3

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $- 1$ عن $x$ وبـ $8$ عن $y$ في $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$8 = \ln (| \sin (- 1) |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln (| \sin (- 1) |) + C = 8$ .

$\ln (| \sin (- 1) |) + C = 8$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

احسِب قيمة $\sin (- 1)$ .

$\ln (| - 0.0174524 |) + C = 8$

خطوة 4.2.1.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 0.0174524$ و $0$ تساوي $0.0174524$ .

$\ln (0.0174524) + C = 8$

خطوة 4.3

اطرح $\ln (0.0174524)$ من كلا المتعادلين.

$C = 8 - \ln (0.0174524)$

خطوة 5

عوّض بـ $8 - \ln (0.0174524)$ عن $C$ في $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $8 - \ln (0.0174524)$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + 8 - \ln (0.0174524)$

خطوة 5.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \sin (x) |}{0.0174524}) + 8$

خطوة 5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب في $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.0174524}) + 8$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $0.0174524$ من $0.0174524$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.0174524 (1)}) + 8$

خطوة 5.3.3

افصِل الكسور.

$y = \ln (\frac{1}{0.0174524} \cdot \frac{| \sin (x) |}{1}) + 8$

خطوة 5.3.4

اقسِم $1$ على $0.0174524$ .

$y = \ln (57.29868849 \frac{| \sin (x) |}{1}) + 8$

خطوة 5.3.5

اقسِم $| \sin (x) |$ على $1$ .

$y = \ln (57.29868849 | \sin (x) |) + 8$