حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + \frac{1}{36}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $\frac{1}{36}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{36}$ بالصيغة ${(\frac{1}{6})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

خطوة 2.2.3

تكامل $\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{6}$ .

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $6$ في $1$ .

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.2.4.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{6}$ .

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.2.4.4

انقُل $6$ إلى يسار $x$ .

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$6 \arctan (6 x) = t + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $6 \arctan (6 x) = t + K$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اقسِم كل حد في $6 \arctan (6 x) = t + K$ على $6$ .

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

خطوة 3.1.2.1.2

اقسِم $\arctan (6 x)$ على $1$ .

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

خطوة 3.2

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل قوس الظل.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ على $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

خطوة 5

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $t$ وبـ $2$ عن $x$ في $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

خطوة 6.2

اضرب كلا المتعادلين في $6$ .

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

خطوة 6.4

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $K$ من داخل المماس.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

خطوة 6.5

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{0}{6} + K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

اقسِم $0$ على $6$ .

$0 + K = \arctan (12)$

خطوة 6.5.1.2

أضف $0$ و $K$ .

$K = \arctan (12)$

خطوة 6.6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

احسِب قيمة $\arctan (12)$ .

$K = 1.48765509$

خطوة 6.7

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

خطوة 6.8

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.8.1

احذِف الأقواس.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

خطوة 6.8.2

احذِف الأقواس.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

خطوة 6.8.3

أضف $3.14159265$ و $1.48765509$ .

$K = 4.62924774$

خطوة 6.9

أوجِد فترة $\tan (\frac{0}{6} + K)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 6.9.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 6.9.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 6.9.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 6.10

فترة دالة $\tan (\frac{0}{6} + K)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6.11

ادمج $1.48765509 + π n$ و $4.62924774 + π n$ في $1.48765509 + π n$ .

$K = 1.48765509 + π n$

خطوة 7

عوّض بـ $1.48765509 + π n$ عن $K$ في $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $1.48765509 + π n$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$