حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = y x (x + 2)$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x (x + 2))$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y x (x + 2)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 2)))$

خطوة 1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 2)))$

خطوة 1.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (x + 2)$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2$

خطوة 1.2.3

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2$

خطوة 1.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} + 2 x) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} + 2 x d x$

خطوة 2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} + 2 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 2 x d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 \int x d x$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.5.2.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{4}$

خطوة 2.3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y |) = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C} = | y |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y | = e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$| y | = e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

خطوة 3.3.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$ بالصيغة $e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$