حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

خطوة 2.2

تكامل $e^{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اجمع $\frac{2 \ln (x)}{x}$ و $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x) d x}{x} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $2 d x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2 d x$ خارج التكامل.

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 2.3.3

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.3.3.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int u d u$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أعِد كتابة $2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ بالصيغة $2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} d x u^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.2

اجمع $\frac{2}{2}$ و $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2.3.2

اقسِم $d x$ على $1$ .

$e^{y} + C_{1} = d x u^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = d x \ln^{2} (x) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) d x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$e^{y} = \ln^{2} (x) d x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

خطوة 3.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

خطوة 3.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

خطوة 3.2.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$