حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y (\frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{2 t}{1 + t^{2}}$ في $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{(1 + t^{2}) y}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $(1 + t^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$y d y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int y d y = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

خطوة 2.3.2

لنفترض أن $u = 1 + t^{2}$ . إذن $d u = 2 t d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

افترض أن $u = 1 + t^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

خطوة 2.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 t$

خطوة 2.3.2.1.5

أضف $0$ و $2 t$ .

$2 t$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $\int \frac{1}{u} d u$ في $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 2.3.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

خطوة 3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + t^{2} |) + 2 C$

خطوة 3.3

بسّط $2 \ln (| 1 + t^{2} |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$y^{2} = \ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C}$

خطوة 3.5

احذِف القيمة المطلقة في ${| 1 + t^{2} |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

خطوة 3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

خطوة 3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

خطوة 3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$