حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = y \tan (x) - 2 \sin (x)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $y \tan (x)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = - 2 \sin (x)$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $- y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = - 2 \sin (x)$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $- 1 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = - 2 \sin (x)$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1 \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $- 1 \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \tan (x) d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (\sec (x))}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sec^{- 1} (x)$

خطوة 2.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec (x)}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

خطوة 2.8

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x)$

خطوة 2.9

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\cos (x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

انقُل الأقواس.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 3.2.1.2

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $- 1 \tan (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 3.2.1.3

أضف الأقواس.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 3.2.1.4

أعِد كتابة $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 3.2.1.5

ألغِ العوامل المشتركة.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $- 1 \sin (x)$ بالصيغة $- \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\cos (x) y = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\cos (x) y = - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

خطوة 7.2

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 7.2.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\cos (x) y = - 2 \int - u d u$

خطوة 7.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\cos (x) y = - 2 (- \int u d u)$

خطوة 7.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\cos (x) y = 2 \int u d u$

خطوة 7.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

خطوة 7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

خطوة 7.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

خطوة 7.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

خطوة 7.6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos (x) y = 1 u^{2} + C$

خطوة 7.6.2.3

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$\cos (x) y = u^{2} + C$

خطوة 7.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ على $\cos (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ على $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $\cos^{2} (x)$ و $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

أخرِج العامل $\cos (x)$ من $\cos^{2} (x)$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.2.1

اضرب في $1$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\cos (x)}$

خطوة 8.3.1.1.2.4

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

خطوة 8.3.1.2

افصِل الكسور.

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 8.3.1.3

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

خطوة 8.3.1.4

اقسِم $C$ على $1$ .

$y = \cos (x) + C \sec (x)$