حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 4$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 4} (y^{2} + 4)$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 4} (y^{2} + 4)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = 1$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y^{2} + 4} d y = 1 d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y^{2} + 4} d y = \int d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $4$ .

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int d x$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$ في $2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

خطوة 3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

خطوة 3.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

خطوة 3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

خطوة 3.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (\frac{y}{2}) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

خطوة 3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

خطوة 3.1.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $K$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 K$

خطوة 3.2

خُذ دالة قوس الظل العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل قوس الظل.

$\frac{y}{2} = \tan (2 x + 2 K)$

خطوة 3.3

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (2 x + 2 K)$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (2 x + 2 K)$

خطوة 3.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 \tan (2 x + 2 K)$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = 2 \tan (2 x + K)$