حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x + y e^{2 x y}) d x + 1 x e^{2 x y} d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = x + y e^{2 x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{2 x y}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y e^{2 x y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

خطوة 1.2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.3

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \cdot 1$

خطوة 1.3.6

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y} \cdot 1$

خطوة 1.3.7

اضرب $e^{2 x y}$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أضف $0$ و $y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 x e^{2 x y}]$

خطوة 2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{2 x y}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \cdot 1$

خطوة 2.5.5

اضرب $e^{2 x y}$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

خطوة 2.6.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 x e^{2 x y} d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $x$ في $1$ .

$f (x, y) = \int x e^{2 x y} d y$

خطوة 5.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x \int e^{2 x y} d y$

خطوة 5.3

لنفترض أن $u = 2 x y$ . إذن $d u = 2 x d y$ ، لذا $\frac{1}{2 x} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

افترض أن $u = 2 x y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أوجِد مشتقة $2 x y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x y]$

خطوة 5.3.1.2

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 5.3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x \cdot 1$

خطوة 5.3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2 x$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u$

خطوة 5.4

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u$

خطوة 5.5

بما أن $\frac{1}{2 x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2 x}$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u)$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اجمع $\frac{1}{2 x}$ و $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

خطوة 5.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

خطوة 5.6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (x, y) = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

خطوة 5.7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

خطوة 5.8

بسّط.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{u} + C$

خطوة 5.9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2} e^{2 x y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.3

بما أن $2 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.6

اجمع $e^{2 x y}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 x y}}{2} (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.7

اجمع $2$ و $\frac{e^{2 x y}}{2}$ .

$\frac{2 e^{2 x y}}{2} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.8

اجمع $\frac{2 e^{2 x y}}{2}$ و $y$ .

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.3.9.2

اقسِم $e^{2 x y} y$ على $1$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y = x + y e^{2 x y}$

خطوة 8.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x y} = x + y e^{2 x y}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $y e^{2 x y}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $y e^{2 x y}$ من $y e^{2 x y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

خطوة 10.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x y}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$