حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 3 x {(y + 4)}^{2}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{{(y + 4)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} (3 x {(y + 4)}^{2})$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} (x {(y + 4)}^{2})$

خطوة 1.2.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{{(y + 4)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} (x {(y + 4)}^{2})$

خطوة 1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(y + 4)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل ${(y + 4)}^{2}$ من $x {(y + 4)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} ({(y + 4)}^{2} x)$

خطوة 1.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} ({(y + 4)}^{2} x)$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 x$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} d y = 3 x d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} d y = \int 3 x d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y + 4$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int 3 x d x$

خطوة 2.2.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int 3 x d x$

خطوة 2.2.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int 3 x d x$

خطوة 2.2.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int 3 x d x$

خطوة 2.2.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int 3 x d x$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $- u^{- 1} + C_{1}$ بالصيغة $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int 3 x d x$

خطوة 2.2.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 4$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = \int 3 x d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 \int x d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد كتابة $3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ بالصيغة $3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.3.3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$- \frac{1}{y + 4} = \frac{3}{2} x^{2} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$

خطوة 3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y + 4, 2, 1$

خطوة 3.2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 3.2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 3.2.4

بما أن $2$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $2$ .

$2$ هي عدد أولي

خطوة 3.2.5

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 3.2.6

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 2, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$2$

خطوة 3.2.7

عامل $y + 4$ هو $y + 4$ نفسها.

$(y + 4) = y + 4$

تحدث $(y + 4)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 3.2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y + 4$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y + 4$

خطوة 3.2.9

المضاعف المشترك الأصغر $LCM$ لبعض الأعداد هو أصغر عدد تمثل الأعداد عوامله.

$2 (y + 4)$

خطوة 3.3

اضرب كل حد في $- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$ في $2 (y + 4)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب كل حد في $- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$ في $2 (y + 4)$ .

$- \frac{1}{y + 4} (2 (y + 4)) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{y + 4}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{y + 4} (2 (y + 4)) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.2.1.2

أخرِج العامل $y + 4$ من $2 (y + 4)$ .

$\frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \cdot 2) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \cdot 2) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 2 = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 2 = 2 \frac{3 x^{2}}{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 = 2 \frac{3 x^{2}}{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 = 3 x^{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 = 3 x^{2} y + 3 x^{2} \cdot 4 + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.3.1.4

اضرب $4$ في $3$ .

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + K (2 (y + 4))$

خطوة 3.3.3.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K (y + 4)$

خطوة 3.3.3.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 2 K \cdot 4$

خطوة 3.3.3.1.7

اضرب $4$ في $2$ .

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K$

خطوة 3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K = - 2$ .

$3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K = - 2$

خطوة 3.4.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $12 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} y + 2 K y + 8 K = - 2 - 12 x^{2}$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $8 K$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} y + 2 K y = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $y$ من $3 x^{2} y + 2 K y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أخرِج العامل $y$ من $3 x^{2} y$ .

$y (3 x^{2}) + 2 K y = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

خطوة 3.4.3.2

أخرِج العامل $y$ من $2 K y$ .

$y (3 x^{2}) + y (2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

خطوة 3.4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (3 x^{2}) + y (2 K)$ .

$y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$ على $3 x^{2} + 2 K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$ على $3 x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y (3 x^{2} + 2 K)}{3 x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 x^{2} + 2 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (3 x^{2} + 2 K)}{3 x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- 2 - 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{- 2 - 12 x^{2} - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 - 12 x^{2} - 8 K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1) - 12 x^{2} - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2}) - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.3.3

أخرِج العامل $2$ من $- 8 K$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 - 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.3.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 1 - 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 - 6 x^{2} - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1) - 6 x^{2} - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1) - (6 x^{2}) - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (6 x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2}) - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 K$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2}) - (4 K))}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1 + 6 x^{2}) - (4 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2} + 4 K))}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 3.4.4.3.2.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{2 (1 + 6 x^{2} + 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = - \frac{2 (1 + 6 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K}$