حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \sin (3 x + π)$ , $y (0) = 4$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \sin (3 x + π) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \sin (3 x + π) d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \sin (3 x + π) d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = 3 x + π$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = 3 x + π$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + π$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + π]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + π$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [π]$

خطوة 2.3.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

خطوة 2.3.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

خطوة 2.3.1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [π]$

خطوة 2.3.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.4.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 2.3.1.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

خطوة 2.3.4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

خطوة 2.3.5.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x + π$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (3 x + π)}{3} + C_{2}$

خطوة 2.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $4$ عن $y$ في $y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$ .

$4 = - \frac{1}{3} \cos (3 \cdot 0 + π) + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot 0 + π) + K = 4$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot 0 + π) + K = 4$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $3$ في $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (0 + π) + K = 4$

خطوة 4.2.1.2

أضف $0$ و $π$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (π) + K = 4$

خطوة 4.2.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- \frac{1}{3} \cdot (- \cos (0)) + K = 4$

خطوة 4.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 4$

خطوة 4.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1 + K = 4$

خطوة 4.2.1.6

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) + K = 4$

خطوة 4.2.1.6.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $\frac{1}{3}$ من كلا المتعادلين.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 4.3.3

اجمع $4$ و $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $4$ في $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

خطوة 4.3.5.2

اطرح $1$ من $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{11}{3}$ عن $K$ في $y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{11}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + \frac{11}{3}$

خطوة 5.2

اجمع $\cos (3 x + π)$ و $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x + π)}{3} + \frac{11}{3}$