حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 x + 2) d y + (2 y - 5) d x = 0$

خطوة 1

اطرح $(2 y - 5) d x$ من كلا المتعادلين.

$(3 x + 2) d y = - (2 y - 5) d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)}$ .

$\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = - \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (2 y - 5) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (2 y - 5) d x$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $2 y - 5$ من $(3 x + 2) (2 y - 5)$ .

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(2 y - 5) (3 x + 2)} (2 y - 5) d x$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(2 y - 5) (3 x + 2)} (2 y - 5) d x$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{3 x + 2} d x$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{2 y - 5} d y = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لنفترض أن $u_{1} = 2 y - 5$ . إذن $d u_{1} = 2 d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

افترض أن $u_{1} = 2 y - 5$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $2 y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 5]$

خطوة 4.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y - 5$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

خطوة 4.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

خطوة 4.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

خطوة 4.2.1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 5]$

خطوة 4.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.4.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 4.2.1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 4.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.2.4

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 y - 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

خطوة 4.3.2

لنفترض أن $u_{2} = 3 x + 2$ . إذن $d u_{2} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

افترض أن $u_{2} = 3 x + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

خطوة 4.3.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.2.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 4.3.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 4.3.2.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 4.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

خطوة 4.3.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4.3.4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 4.3.5

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

خطوة 4.3.6

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

خطوة 4.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |)) = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 2 y - 5 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

اجمع $\ln (| 3 x + 2 |)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C)$

خطوة 5.2.2.1.2

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 5.2.2.1.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

اجمع $C$ و $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + \frac{C \cdot 3}{3})$

خطوة 5.2.2.1.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + C \cdot 3}{3}$

خطوة 5.2.2.1.4

انقُل $3$ إلى يسار $C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C}{3}$

خطوة 5.2.2.1.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.5.1

اجمع $2$ و $\frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C)}{3}$

خطوة 5.2.2.1.5.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \ln (| 3 x + 2 |)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |)) + 3 C)}{3}$

خطوة 5.2.2.1.5.3

أخرِج العامل $- 1$ من $3 C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |)) - (- 3 C))}{3}$

خطوة 5.2.2.1.5.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\ln (| 3 x + 2 |)) - (- 3 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C))}{3}$

خطوة 5.2.2.1.5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.5.5.1

أعِد كتابة $- (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)$ بالصيغة $- 1 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- 1 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C))}{3}$

خطوة 5.2.2.1.5.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| 2 y - 5 |)} = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} = | 2 y - 5 |$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$ .

$| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

خطوة 5.5.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$2 y - 5 = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

خطوة 5.5.3

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$

خطوة 5.5.4

اقسِم كل حد في $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

اقسِم كل حد في $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

خطوة 5.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

خطوة 5.5.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

خطوة 5.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5}{2}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) + C)}{3}} + 5}{2}$