حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 4 x$

خطوة 1

افترض أن $v = \frac{d y}{d x}$ . إذن $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . عوّض بـ $v$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $\frac{d v}{d x}$ عن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ للحصول على معادلة تفاضلية ذات متغير تابع $v$ ومتغير مستقل $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = 4 x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int 2 d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{2 x + C_{1}}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (4 x)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (4 x)$

خطوة 3.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = 4 x e^{2 x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{2 x} v = \int 4 x e^{2 x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$e^{2 x} v = 4 \int x e^{2 x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 7.3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

خطوة 7.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

خطوة 7.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

خطوة 7.5

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 7.5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})$

خطوة 7.6

اجمع $e^{u_{1}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})$

خطوة 7.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))$

خطوة 7.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

خطوة 7.9

تكامل $e^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$

خطوة 7.10

أعِد كتابة $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$ بالصيغة $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$

خطوة 7.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

خطوة 7.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

خطوة 7.12.1.2

اجمع $\frac{x}{2}$ و $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

خطوة 7.12.1.3

اجمع $e^{2 x}$ و $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

خطوة 7.12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{2 x} v = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

خطوة 7.12.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$e^{2 x} v = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

خطوة 7.12.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2 x} v = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

خطوة 7.12.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

خطوة 7.12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.12.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{2 x}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

خطوة 7.12.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

خطوة 7.12.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C_{2}$

$e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ على $e^{2 x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ على $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $v$ على $1$ .

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.1.2

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 8.3.1.2.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$v = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

خطوة 10

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}) d x$

خطوة 11

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

خطوة 11.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{3} = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

خطوة 11.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

خطوة 11.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

خطوة 11.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

خطوة 11.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

خطوة 11.3.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

خطوة 11.3.6

بما أن $C_{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $C_{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{2 x}} d x$

خطوة 11.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.7.1

اعكِس علامة أُس $e^{2 x}$ وأخرِجها من القاسم.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

خطوة 11.3.7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.7.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.7.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x$

خطوة 11.3.7.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 2 x} d x$

خطوة 11.3.7.2.2

اضرب $e^{- 2 x}$ في $1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- 2 x} d x$

خطوة 11.3.8

لنفترض أن $u_{2} = - 2 x$ . إذن $d u_{2} = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.8.1

افترض أن $u_{2} = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.8.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 11.3.8.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.3.8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 11.3.8.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 11.3.8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 11.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 11.3.9.2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 11.3.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

خطوة 11.3.11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

خطوة 11.3.12

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{6}))$

خطوة 11.3.13

بسّط.

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{u_{2}}) + C_{7}$

خطوة 11.3.14

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 2 x$ .

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) + C_{7}$

خطوة 11.3.15

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{3} = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C_{2} - x + C_{7}$

خطوة 11.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C - x + D$