حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{2 x} d y + (2 e^{2 x} y - x) d x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية لتناسب المعادلة التفضيلية التامة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد الكتابة.

$(2 e^{2 x} y - x) d x + e^{2 x} d y = 0$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = 2 e^{2 x} y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y - x]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 e^{2 x} y - x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2 e^{2 x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 e^{2 x} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d y} [- x]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $2 e^{2 x}$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x}$

خطوة 3

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \cdot 1)$

خطوة 3.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \cdot 2$

خطوة 3.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x}$

خطوة 4

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $2 e^{2 x}$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $2 e^{2 x}$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$

خطوة 4.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ تمثل متطابقة.

خطوة 5

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} d y$

خطوة 6

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = e^{2 x}$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة الثابت.

$f (x, y) = e^{2 x} y + C$

خطوة 7

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$

خطوة 8

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y + g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} y + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $e^{2 x} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.3.7

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 9.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 e^{2 x} y - x$

خطوة 10

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{2 x} y - x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x} - x$

خطوة 10.1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

اطرح $2 y e^{2 x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$

خطوة 10.1.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.2.1

اطرح $2 y e^{2 x}$ من $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

خطوة 10.1.2.2.2

أضف $- x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

خطوة 11

أوجِد المشتق العكسي لـ $- x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

خطوة 11.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$g (x) = - \int x d x$

خطوة 11.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

خطوة 11.5

أعِد كتابة $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 13

بسّط $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 13.2

أعِد ترتيب العوامل في $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = y e^{2 x} - \frac{x^{2}}{2} + C$