حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x + 16}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \sqrt{x + 16} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \sqrt{x + 16} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \sqrt{x + 16} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = x + 16$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = x + 16$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 16$ .

$\frac{d}{d x} [x + 16]$

خطوة 2.3.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [16]$

خطوة 2.3.1.1.4

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} d u$

خطوة 2.3.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 16$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} {(x + 16)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{2}{3} {(x + 16)}^{\frac{3}{2}} + K$