حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أضف $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

خطوة 1.1.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $y$ من $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

خطوة 1.3

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{3}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (t) d t}$ ، حيث $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{3}{2 t + 25}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

خطوة 2.2.2

لنفترض أن $u = 2 t + 25$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

افترض أن $u = 2 t + 25$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

خطوة 2.2.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t + 25$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

خطوة 2.2.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

خطوة 2.2.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

خطوة 2.2.2.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

خطوة 2.2.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.4.1

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 2.2.2.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

خطوة 2.2.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

خطوة 2.2.6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

خطوة 2.2.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t + 25$ .

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{3}{2 t + 25}$ و $y$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

خطوة 3.2.2

اجمع ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $2 t + 25$ من ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

خطوة 3.2.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب في $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

خطوة 3.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

خطوة 3.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

خطوة 3.2.4.4

اقسِم ${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ على $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

خطوة 3.2.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

خطوة 3.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

خطوة 7.2

لنفترض أن $u = 2 t + 25$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

افترض أن $u = 2 t + 25$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أوجِد مشتقة $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

خطوة 7.2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t + 25$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

خطوة 7.2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

خطوة 7.2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

خطوة 7.2.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

خطوة 7.2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.4.1

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 7.2.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

خطوة 7.3

اجمع $u^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

خطوة 7.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 7.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 7.5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 7.5.3

اضرب $\int u^{\frac{3}{2}} d u$ في $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 7.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 7.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t + 25$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ على ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ على ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.3.2

اجمع $\frac{2}{5}$ و ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.3.3

لكتابة $C$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.3.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

اجمع $C$ و $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.3.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.3.5

انقُل $5$ إلى يسار $C$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.3.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.3.7

اضرب $\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ في $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$