حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d u}{d t} = \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d u}{d t} = \frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1}$

خطوة 1.2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{u + 2}{u + 1}$ .

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} (\frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1})$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{u + 1}{u + 2}$ في $\frac{t + 1}{t - 1}$ .

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

خطوة 1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $u + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

خطوة 1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

خطوة 1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $u + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

خطوة 1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{t + 1}{t - 1}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{u + 2}{u + 1} d u = \frac{t + 1}{t - 1} d t$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{u + 2}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم $u + 2$ على $u + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$u$

$1$

$u$

$2$

خطوة 2.2.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $u$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

					$1$
	$u$	+	$1$		$u$	+	$2$

خطوة 2.2.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$1$

خطوة 2.2.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $u + 1$

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$

خطوة 2.2.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$
					+	$1$

خطوة 2.2.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 + \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

خطوة 2.2.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d u + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

خطوة 2.2.3

طبّق قاعدة الثابت.

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

خطوة 2.2.4

لنفترض أن $u_{1} = u + 1$ . إذن $d u_{1} = d u$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

افترض أن $u_{1} = u + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

أوجِد مشتقة $u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

خطوة 2.2.4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u + 1$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

خطوة 2.2.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

خطوة 2.2.4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

خطوة 2.2.5

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$u + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

خطوة 2.2.6

بسّط.

$u + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

خطوة 2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $u + 1$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم $t + 1$ على $t - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$t$

$1$

$t$

$1$

خطوة 2.3.1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $t$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $t$ .

					$1$
	$t$	-	$1$		$t$	+	$1$

خطوة 2.3.1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			+	$t$	-	$1$

خطوة 2.3.1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $t - 1$

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$

خطوة 2.3.1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$
					+	$2$

خطوة 2.3.1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{2}{t - 1} d t$

خطوة 2.3.2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

خطوة 2.3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + \int \frac{2}{t - 1} d t$

خطوة 2.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{t - 1} d t$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u_{2} = t - 1$ . إذن $d u_{2} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u_{2} = t - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

خطوة 2.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.3.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 2.3.5.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.3.5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 2.3.6

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

خطوة 2.3.8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $t - 1$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C_{6}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$u + \ln (| u + 1 |) = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C$