حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

خطوة 1

افترض أن $v = \frac{d y}{d x}$ . إذن $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . عوّض بـ $v$ عن $\frac{d y}{d x}$ وبـ $\frac{d v}{d x}$ عن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ للحصول على معادلة تفاضلية ذات متغير تابع $v$ ومتغير مستقل $x$ .

$\frac{d v}{d x} = v$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

خطوة 2.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

خطوة 3.2

تكامل $\frac{1}{v}$ بالنسبة إلى $v$ هو $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

خطوة 3.3

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

خطوة 4

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لإيجاد قيمة $v$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $\ln (| v |) = x + C_{3}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x + C_{3}} = | v |$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| v | = e^{x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{x + C_{3}}$

خطوة 4.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $e^{x + C_{3}}$ بالصيغة $e^{x} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب $e^{x}$ و $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

خطوة 5.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$v = C_{4} e^{x}$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $v$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

خطوة 7

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

خطوة 8

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

خطوة 8.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

خطوة 8.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $C_{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $C_{4}$ خارج التكامل.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

خطوة 8.3.2

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

خطوة 8.3.3

بسّط.

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

خطوة 8.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

خطوة 8.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = e^{x} C + D$