حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

خطوة 1

افترض أن $V = \frac{y}{x}$ . عوّض بـ $V$ عن $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ في $V = \frac{y}{x}$ .

$y = V x$

خطوة 3

استخدِم قاعدة الضرب لإيجاد مشتق $y = V x$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\frac{d y}{d x}$ التي تساوي $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

خطوة 5

أوجِد حل المعادلة التفاضلية المُعوض عنها.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد قيمة $\frac{d V}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d V}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.1

اطرح $V$ من كلا المتعادلين.

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

خطوة 5.1.1.1.2

اطرح $V$ من $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

خطوة 5.1.1.2

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

خطوة 5.1.1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

خطوة 5.1.1.2.2.1.2

اقسِم $\frac{d V}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

خطوة 5.1.1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

خطوة 5.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

خطوة 5.1.3

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{3 - 2 V}$ .

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

خطوة 5.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3 - 2 V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

خطوة 5.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 5.1.5

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

لنفترض أن $u = 3 - 2 V$ . إذن $d u = - 2 d V$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d V$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

افترض أن $u = 3 - 2 V$ . أوجِد $\frac{d u}{d V}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $3 - 2 V$ .

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

خطوة 5.2.2.1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 2 V$ بالنسبة إلى $V$ هو $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

خطوة 5.2.2.1.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $V$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

خطوة 5.2.2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $V$ ، إذن مشتق $- 2 V$ بالنسبة إلى $V$ يساوي $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

خطوة 5.2.2.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ هو $n V^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

خطوة 5.2.2.1.1.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 - 2$

خطوة 5.2.2.1.1.4

اطرح $2$ من $0$ .

$- 2$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.2.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.5

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.6

بسّط.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.2.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 - 2 V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 5.2.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 5.2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب كلا المتعادلين في $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 5.3.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

بسّط $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

اجمع $\ln (| 3 - 2 V |)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 5.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 5.3.2.1.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 5.3.2.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 5.3.2.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 5.3.2.1.1.3

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 5.3.2.1.1.3.2

اضرب $\ln (| 3 - 2 V |)$ في $1$ .

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

خطوة 5.3.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

خطوة 5.3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

بسّط $\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1.1.1

بسّط $2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

خطوة 5.3.4.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

خطوة 5.3.4.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

خطوة 5.3.4.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

خطوة 5.3.5

لإيجاد قيمة $V$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

خطوة 5.3.6

أعِد كتابة $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

خطوة 5.3.7

أوجِد قيمة $V$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

خطوة 5.3.7.2

اقسِم كل حد في $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.2.1

اقسِم كل حد في $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

خطوة 5.3.7.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

خطوة 5.3.7.2.2.1.2

اقسِم $| 3 - 2 V |$ على $1$ .

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

خطوة 5.3.7.3

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

خطوة 5.3.7.4

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

خطوة 5.3.7.5

اقسِم كل حد في $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.5.1

اقسِم كل حد في $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 5.3.7.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 5.3.7.5.2.1.2

اقسِم $V$ على $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 5.3.7.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.5.3.1.1

بسّط $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 5.3.7.5.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 5.4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط ثابت التكامل.

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 5.4.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $V$ التي تساوي $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ في $\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط $(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1.1

اجمع $C$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

خطوة 7.2.2.1.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

خطوة 7.2.2.1.1.3

اجمع.

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

خطوة 7.2.2.1.1.4

اضرب $C$ في $1$ .

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

خطوة 7.2.2.1.1.5

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

خطوة 7.2.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

خطوة 7.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{2}$ .

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

خطوة 7.2.2.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

خطوة 7.2.2.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

خطوة 7.2.2.1.2.3

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x$ .

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

خطوة 7.2.2.1.2.4

أعِد ترتيب $\frac{C}{2 x}$ و $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$