حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2

أوجِد تكامل $- \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 1.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 1.2.3

بسّط.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- \ln (x)}$

خطوة 1.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

خطوة 1.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{- 1}$

خطوة 1.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $\frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 2.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 2.2.4

اضرب $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $\frac{y}{x}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 2.2.4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 2.2.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 2.2.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 2.2.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} x^{2}$

خطوة 2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x)$

خطوة 2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x)$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\frac{1}{x} y = \int x d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + C$

خطوة 7.3

اضرب كلا الطرفين في $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

خطوة 7.4.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

خطوة 7.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

بسّط $(\frac{x^{2}}{2} + C) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + C x$

خطوة 7.4.2.1.2

اضرب $\frac{x^{2}}{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.2.1

اجمع $\frac{x^{2}}{2}$ و $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + C x$

خطوة 7.4.2.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.2.2.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.2.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + C x$

خطوة 7.4.2.1.2.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + C x$

خطوة 7.4.2.1.2.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x$