حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3.3

تكامل $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arcsin (x)$

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2.3.5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

خطوة 2.3.5.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

خطوة 2.3.5.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

خطوة 2.3.5.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

خطوة 2.3.5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

خطوة 2.3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

خطوة 2.3.7

بسّط.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + \arcsin (x) + C_{4}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} + \arcsin (x) + K$