حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} d x + 2 y d y = 0$

خطوة 1

اطرح $x^{2} d x$ من كلا المتعادلين.

$2 y d y = - x^{2} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int 2 y d y = \int - x^{2} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int y d y = \int - x^{2} d x$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int - x^{2} d x$

خطوة 2.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أعِد كتابة $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ بالصيغة $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

خطوة 2.2.3.2.3

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int - x^{2} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y^{2} + C_{1} = - \int x^{2} d x$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $- (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ بالصيغة $- \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y^{2} = - \frac{1}{3} x^{3} + K$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{3} x^{3} + K}$

خطوة 3.2

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{1}{3} x^{3} + K}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + K}$

خطوة 3.2.2

لكتابة $K$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.2.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اجمع $K$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.2.4

انقُل $3$ إلى يسار $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + 3 K}{3}}$

خطوة 3.2.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{- x^{3} + 3 K}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.2.6

اضرب $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 3.2.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

اضرب $\frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 3.2.7.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 3.2.7.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 3.2.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.2.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 3.2.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.2.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.2.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.2.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.2.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 3.2.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 3.2.8

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

خطوة 3.2.9

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

خطوة 3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

خطوة 3.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

خطوة 3.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 3 K)}}{3}$

خطوة 4

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$