حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لنفترض أن $u = y + 1$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

افترض أن $u = y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

خطوة 2.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 2.2.1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 2.2.1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد ترتيب $x^{2}$ و $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 2.3.2

تكامل $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \arctan (x) + C$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\arctan (x) + C}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\ln (| y + 1 |) = \arctan (x) + C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (x) + C} = | y + 1 |$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $| y + 1 | = e^{\arctan (x) + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\arctan (x) + C}$

خطوة 3.3.2

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\arctan (x) + C}$

خطوة 3.3.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \pm e^{\arctan (x) + C} - 1$

خطوة 4

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $e^{\arctan (x) + C}$ بالصيغة $e^{\arctan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (x)} e^{C} - 1$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $e^{\arctan (x)}$ و $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (x)} - 1$

خطوة 4.3

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = C e^{\arctan (x)} - 1$