حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y d x + 2 x d y = 0$

خطوة 1

اطرح $y d x$ من كلا المتعادلين.

$2 x d y = - y d x$

خطوة 2

اضرب كلا الطرفين في $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

خطوة 3.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x y}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

خطوة 3.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

خطوة 3.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.2

تكامل $\frac{1}{y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.2.3

بسّط.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 4.3.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

خطوة 4.3.3

بسّط.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 4.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$2 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$2 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $2 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

بسّط $2 \ln (| y |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| y |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (y^{2}) + \ln (| x |) = C$

خطوة 5.2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} | x |) = C$

خطوة 5.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y^{2} | x |)} = e^{C}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $\ln (y^{2} | x |) = C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | x |$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{2} | x | = e^{C}$ .

$y^{2} | x | = e^{C}$

خطوة 5.5.2

اقسِم كل حد في $y^{2} | x | = e^{C}$ على $| x |$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اقسِم كل حد في $y^{2} | x | = e^{C}$ على $| x |$ .

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

خطوة 5.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

خطوة 5.5.2.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{| x |}$

خطوة 5.5.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

خطوة 5.5.4

بسّط $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

خطوة 5.5.4.2

اضرب $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ في $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

خطوة 5.5.4.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ في $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

خطوة 5.5.4.3.2

ارفع $\sqrt{| x |}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |}}$

خطوة 5.5.4.3.3

ارفع $\sqrt{| x |}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1}}$

خطوة 5.5.4.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.5.4.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{2}}$

خطوة 5.5.4.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{| x |}}^{2}$ بالصيغة $| x |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{| x |}$ في صورة ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.5.4.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.5.4.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.5.4.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.5.4.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{1}}$

خطوة 5.5.4.3.6.5

بسّط.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x |}$

خطوة 5.5.4.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

خطوة 5.5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

خطوة 5.5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

خطوة 5.5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

خطوة 6

بسّط ثابت التكامل.

$y = \frac{\sqrt{C | x |}}{| x |}$

$y = - \frac{\sqrt{C | x |}}{| x |}$