حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ على $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $y$ من $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب $y$ و $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

خطوة 2.2

أوجِد تكامل $\frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

خطوة 2.2.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

خطوة 2.2.3

بسّط.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{2 \ln (x)}$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة اللوغاريتمية.

$e^{\ln (x^{2})}$

خطوة 2.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$x^{2}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{2}{x}$ و $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.2.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

خطوة 3.4

اجمع $x$ و $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

خطوة 3.5.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

خطوة 7

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $x^{2} y = - \cos (x) + C$ على $x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $x^{2} y = - \cos (x) + C$ على $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

خطوة 9

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $C$ بالتعويض بـ $2$ عن $x$ وبـ $1$ عن $y$ في $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ .

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

خطوة 10.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

احسِب قيمة $\cos (2)$ .

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

خطوة 10.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

خطوة 10.2.1.3

اقسِم $0.99939082$ على $4$ .

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

خطوة 10.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0.2498477$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

خطوة 10.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

خطوة 10.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أضف $0.2498477$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

خطوة 10.3.2

أضف $1$ و $0.2498477$ .

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

خطوة 10.4

اضرب كلا المتعادلين في $4$ .

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

خطوة 10.5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

خطوة 10.5.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

خطوة 10.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اضرب $4$ في $1.2498477$ .

$C = 4.99939082$

خطوة 11

عوّض بـ $4.99939082$ عن $C$ في $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض بقيمة $C$ التي تساوي $4.99939082$ .

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$