حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x}$

خطوة 1

أوجِد تكامل كلا الطرفين بالنسبة إلى $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

المشتق الأول يساوي تكامل المشتق الثاني بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 1.2

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (| x |) + C_{1}$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = (\ln (| x |) + C_{1}) d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

خطوة 3.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

خطوة 3.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (| x |)$ و $d v = 1$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int d x + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.4

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + \int C_{1} d x$

خطوة 3.3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

خطوة 3.3.6

بسّط.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - x + C_{1} x + C_{5}$

خطوة 3.3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$y + C_{2} = x \ln (| x |) + C_{1} x - x + C_{5}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $D$ .

$y = x \ln (| x |) + C x - x + D$