حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \int - \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

خطوة 2.3.3

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $24$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x)$

خطوة 2.3.4

اضرب $24$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

خطوة 2.3.5

لنفترض أن $u = 2 x + 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

افترض أن $u = 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 2.3.5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.5.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.3.5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 2.3.5.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 2.3.5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اضرب $\frac{1}{u^{3}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

خطوة 2.3.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $u^{3}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

خطوة 2.3.7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - 24 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

خطوة 2.3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{- 24}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 2.3.8.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 2.3.8.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 2.3.8.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 2.3.8.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{- 12}{1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 2.3.8.1.2.2.4

اقسِم $- 12$ على $1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 2.3.8.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.2.1

انقُل $u^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3.8.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.8.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{- 3} d u$

خطوة 2.3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C_{2})$

خطوة 2.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1.1

اجمع $u^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C_{2})$

خطوة 2.3.10.1.2

انقُل $u^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2})$

خطوة 2.3.10.2

بسّط.

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C_{2}$

خطوة 2.3.10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.3.1

اضرب $- 1$ في $- 12$ .

$y + C_{1} = 12 \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.10.3.2

اجمع $12$ و $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{2 u^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.10.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.10.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 (u^{2})} + C_{2}$

خطوة 2.3.10.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.10.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + C_{1} = \frac{6}{u^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.3.11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + K$