حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + y - x^{2} - 2 x = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + y - 2 x = x^{2}$

خطوة 1.2

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2} + 2 x$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int d x}$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{x + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{x}$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

خطوة 7

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

خطوة 7.2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

خطوة 7.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

خطوة 7.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

خطوة 7.5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

خطوة 7.6

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

خطوة 7.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

خطوة 7.8

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

خطوة 7.9

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

خطوة 7.10

بسّط.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ على $e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ على $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

خطوة 8.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

خطوة 8.3.2.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

خطوة 8.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

أضف $- 2 x e^{x}$ و $2 x e^{x}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

خطوة 8.3.3.2

أضف $x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ و $0$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

خطوة 8.3.3.3

اطرح $2 e^{x}$ من $2 e^{x}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 0 + C}{e^{x}}$

خطوة 8.3.3.4

أضف $x^{2} e^{x}$ و $0$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + C}{e^{x}}$