حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

خطوة 1

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن التكامل.

$e^{\int - 1 d x}$

خطوة 1.2

طبّق قاعدة الثابت.

$e^{- x + C}$

خطوة 1.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{- x}$

خطوة 2

اضرب كل حد في عامل التكامل $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

خطوة 2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

خطوة 2.3

اضرب $e^{- x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

انقُل $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

خطوة 2.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

خطوة 2.3.3

اطرح $x$ من $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

خطوة 2.4

بسّط $e^{0} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

خطوة 3

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

خطوة 4

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

خطوة 5

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$e^{- x} y = \int x d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 7

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $e^{- x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اقسِم كل حد في $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ على $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.3

اجمع.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

خطوة 7.3.1.4

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$