حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y y' = 1 + y^{2}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية.

$x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$

خطوة 2

افصِل المتغيرات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ على $x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اقسِم كل حد في $x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ على $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 2.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 2.1.2.2.2

اقسِم $\frac{d y}{d x}$ على $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

خطوة 2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

خطوة 2.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

خطوة 2.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

خطوة 2.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y}{x}$

خطوة 2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لكتابة $\frac{y}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}$

خطوة 2.2.2

اضرب $\frac{y}{x}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

خطوة 2.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{x y}$

خطوة 2.2.4

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{x y}$

خطوة 2.3

أعِد تجميع العوامل.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x}$

خطوة 2.4

اضرب كلا الطرفين في $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x})$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $\frac{1 + y^{2}}{y}$ في $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y x$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y (x)}$

خطوة 2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y x}$

خطوة 2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

خطوة 2.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

خطوة 2.5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المعادلة.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لنفترض أن $u = 1 + y^{2}$ . إذن $d u = 2 y d y$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

افترض أن $u = 1 + y^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

خطوة 3.2.1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 3.2.1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

خطوة 3.2.1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 y$

خطوة 3.2.1.1.5

أضف $0$ و $2 y$ .

$2 y$

خطوة 3.2.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.5

بسّط.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.2.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 3.3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

خطوة 3.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

خطوة 4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 4.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

خطوة 4.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بسّط $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (| x |)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

خطوة 4.4.1.1.2

احذِف القيمة المطلقة في ${| x |}^{2}$ لأن الأُسس ذات القوى الزوجية دائمًا ما تكون موجبة.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

خطوة 4.4.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

خطوة 4.5

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

خطوة 4.6

أعِد كتابة $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

خطوة 4.7

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

خطوة 4.7.2

اضرب كلا الطرفين في $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

خطوة 4.7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

خطوة 4.7.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

خطوة 4.7.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.3.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

خطوة 4.7.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.4.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

خطوة 4.7.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

خطوة 4.7.4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

خطوة 5

جمّع حدود الثابت معًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط ثابت التكامل.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

خطوة 5.2

اجمع الثوابت مع الزائد أو الناقص.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$