حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = 1$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة التفاضلية في صورة $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $y$ من $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = 1$

خطوة 1.2

أعِد ترتيب $y$ و $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = 1$

خطوة 2

عامل التكامل معرّف من خلال القاعدة $e^{\int P (x) d x}$ ، حيث $P (x) = \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل.

$e^{\int \cot (x) d x}$

خطوة 2.2

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

خطوة 2.3

احذف ثابت التكامل.

$e^{\ln (\sin (x))}$

خطوة 2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$\sin (x)$

خطوة 3

اضرب كل حد في عامل التكامل $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \cdot 1$

خطوة 3.2

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \cdot 1$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\sin (x) (\cot (x) y)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \cdot 1$

خطوة 3.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x)$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب العوامل في $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sin (x)$

خطوة 4

أعِد كتابة الطرف الأيسر في صورة نتيجة اشتقاق حاصل الضرب.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sin (x)$

خطوة 5

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sin (x) d x$

خطوة 6

أوجِد تكامل الطرف الأيسر.

$\sin (x) y = \int \sin (x) d x$

خطوة 7

تكامل $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \cos (x)$ .

$\sin (x) y = - \cos (x) + C$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $\sin (x) y = - \cos (x) + C$ على $\sin (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $\sin (x) y = - \cos (x) + C$ على $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

افصِل الكسور.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.2

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$y = \frac{- 1}{1} \cot (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.3

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$y = - \cot (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.4

افصِل الكسور.

$y = - \cot (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 8.3.1.5

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$y = - \cot (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

خطوة 8.3.1.6

اقسِم $C$ على $1$ .

$y = - \cot (x) + C \csc (x)$